Pendidikan Fisika Reguler
3.1. PENDAHULUAN
Pada struktur kristal di dua bab sebelumnya kita dapat asumsikan bahwa atom diam pada kisinya. Namun sebenarnya atom tidak benar-benar dalam keadaan diam tetapi berputar pada titik keseimbanganyanya sehingga menghasilkan energy thermal. Sekarang kita akan diskusikan secara detail dinamika kisi dan pengaruhnya pada panas, akustik dan alat optic pada kristal.
Pada bab ini pertama kita akan mempertimbangkan dinamika kristal pada batas panjang gelombang elastic, dimana kristal dapat diperlakukan pada medium tak hingga dan kita akan membandingkan macam-macam model yang digunakan untuk menjelaskan spesifikasi panas. Pernyataan ini ditemukan dengan eksperimen yang hanya bisa disampaikan dengan konsep kuantum. Kemudian di bab ini kita akan diperkenalkan dengan phonon, kuantum unit dari gelombang bunyi. Disertai dengan dinamika kisi, kisi terpisah dan konduksi panas dari kisi.
Contoh dari gelombang kisi yaitu penyebaran radiasi (seperti sinar x). Disertai dengan aspek penting pada gelombang kisi di dalam microwave, dan pada akhirnya kita akan mendiskusikan pantulan dan penyerapan sinar infrared dengan dinamika kisi pada kristal ion.
3.2. GELOMBANG ELASTIK
Zat padat tersusun dari atom-atom yang terpisah dan pisahan ini harus di perhitungkan dalam dinamika kisi. Ketika panjang gelombang sangat zat padat dapat diberlakukan dalam medium tak hingga. Dinamika seperti ini dinamakan gelombang elastic.
Sekarang kita uji rambatan gelombang elastic pada batang. (gambar 3.1). Andaikan gelombang ini gelombang longitudinal dan Pada setiap titik x dalam batang terjadi perubahan panjang u (x) . Regangan dituliskan
(3.1)
dengan perubahan panjang persatuan unit. Tengangan (S) didefinisikan persatuan luas yang dinyatakan dalam fungsi x. Berdasarkan hokum Hooke, tengangan sebanding dengan regangan yaitu
(3.2)
Dimana konstanta elastic Y dikenal dengan modulus Young
Gambar 3.1 gelombang elastic pada batang
Untuk menguji perubahan dalam batang, kita pilih bagian yang berubah sepanjang dx seperti yang terlihat pada gamabar. Dengan hokum kedua Newton kita dapat tuliskan pergerakan ini dengan
(3.3)
Dimana adalah masa jenis dan A perubahan luas pada batang. Dibagian kiri merupakan (m a) sedangkan dikanan adalah gaya yang dihasilkan dari tegangan akhir yang dituliskan
(3.4)
Yang dikenal dengan persamaan gelombang satu dimensi
akan diperoleh ungkapan bagi kecepatan gelombang elastik :
(3.5)
Jelas bahwa kecepatan gelombang mekanik dalam batang (secara umum pada zat padat) bergantung pada “besaran elastik” bahan tersebut, yakni modulus Young.
Persamaan 3.6 memiliki hubungan dengan frekuensi dan bilangan gelombang dikenl dengan hubungan penyebaran. Ketika kecepatan gelombang sebanding dengan kenyataanya diketahui dari teori gelombang kecepatan gelombang sebangsing dengan Vs konstan di 3.6. dan dipercepat sesuai rumus 3.7. gelombang inilah yang di sebut gelomabang bunyi.
Gambar 3.2 kurva penyebaran gelomabang elastic
Gambar 3.2 adalah hubungan dispersi untuk gelombang elastik, berupa garis lurus yang condong. Dimana berbanding lurus dengan q yang sudah kita kenal. Salah satu contohnya gelombang optik didalam ruang hampa udara memiliki hubungan disersi , dengan c kecepatan cahaya. Begitu pula berlaku pada gelombang bunyi pada zat cair dan gas.
Penyimpangan dari hubungan linear ini dikenal dengan dispesi. Kita akan melihat di BAB 6 untuk pendekatan kisi diskrit yaitu ketika panjang gelombang sangat pendek dibandingkan jarak antar atom.
Persamaan 3.5 dapat digunakan untuk menyelesaikan modulus young. Misalnya sebuah zat padat memiliki dan maka akan didapatkan
3.3. MODEL PENOMORAN DAN KERAPATAAN KEADAAN DARI MEDIUM KONTINU
Karena perambatan gelombang tersebut bergantung pada besaran elastik maka gelombang yang bersangkutan disebut gelombang elastik. Bentuk penyelesaian dari persamaan gelombang, persamaan (3.4), dapat dipeoleh solusi gelombang bidang :
(3.6)
dengan q bilangan gelombang (= 2π/λ), ω frekuensi sudut dan λ panjang gelombang. Bila hanya diperhatikan bergantung gelombang terhadap posisi (x), dengan mengabaikan faktor waktu (t), maka fungsi gelombang bidang dapat ditulis :
Dengan menganggap panjang batang L, fungsi gelombang harus memenuhi syarat periodik, yaitu nilai pada ujung kiri (x = 0) harus sama dengan nilainya pada ujung kanan (x = L), jadi :
u (x = 0) = u (x = L)
u0 = A exp (iqL)
Ini berarti,
exp (iqL) = 1 atau
iqL = ln 2π
dan :
. q =
dengan n = 0, ±1, ±2, ......... Persamaan terakhir mengungkapkan bahwa gelombang dapat merambat dalam batang yang panjangnya L bilamana bilangan gelombangnya memiliki harga kelipatan bulat (0, 1, 2, ......) dari . Atau dengan kata lain “bilangan gelombang q berharga diskrit”.
Keadaan di atas bila dituliskan dalam ruang - q (koordinat yang menyatakan bilangan gelombang) akan terlihat seperti pada gambar 2.2a. Titik-titik dalam ruang - q menyatakan ragam (moda) gelombang. Andaikan panjang batang cukup besar (L>>), maka jarak akan mendekati nol dan ini berarti titik-titik dalam ruang - q makin berdekatan (ruang -
q mendekati malar/kuasi kontinyu), lihat gambar 2.2b.
Gambar 2.2. Ruang - q satu dimensi : a. diskrit, dan b. malar
Berdasarkan gambar 2.2. dapat didefinisikan jumlah ragam gelombang elastik yang
mempunyai bilangan gelombang antara q dan q + dq (dalam interval dq) adalah :
dengan :
L
q = 2ð
L
Jumlah ragam gelombang seperti pada persamaan (2.2) untuk setiap satuan volume disebut rapat keadaan atau ditulis g(q) dq. Rapat keadaan dapat juga diungkapkan sebagai frekuensi sudut ù, yaitu g(ù) dù; yang menyatakan jumlah ragam gelombang elastik persatuan volume dengan frekuensi antara ù dan ù+dù (dalam interval dù). Di pihak lain, q dan ù berhubungan satu sama lain melalui hubungan dispersi, lihat gambar 2.3., yaitu bahwa ù berbanding lurus terhadap q untuk kisi malar :
ù = vs 2 (2.13)
Gambar 2.3. Hubungan dispersi linier untuk kisi malar
(pendekatan gelombang panjang)
dengan vs adalah kecepatan gelombang pada medium yang bersangkutan. Melalui hubungan
ini g(ù) dapat ditentukan :
| 2ð |
= 2 ( L ) dq
g(ù )
= =L dq
(2.14)
ð dù
= L
ðí s
Angka 2 pada persamaan tersebut muncul karena ragam gelombang meliputi 2 daerah (positif dan negatif), yaitu berhubungan dengan gelombang yang merambat ke arah kanan dan kiri.
Lebih lanjut, perubahan gelombang di atas dapat diperluas untuk kasus tiga-dimensi. Dalam ruang tiga-dimensi, fungsi gelombang dengan mengabaikan faktor waktu ditulis :
u(x,y,z) = u0 exp {i(qxx + qyy + qzz)} (2.15) Syarat batas periodik menghasilkan :
exp {iL(qx + qy + qz)} (2.16)
Hal ini dapat dipenuhi oleh :
ð
ð
ð
q = 2
l ; q
= 2
m; q
= 2 n
x L
y L
z L
l, m, n = 0, ±1, ±2, .........
Setiap titik dalam ruang - q dinyatakan oleh :
q ≡ (qx, qy, qz)
| = |
| m, |
l,
= 2ð
n
(2.17)
L L L
yang merupakan satu ragam gelombang. Pada gambar 2.4. dilukiskan ruang - q tiga-dimensi,
proyeksi pada bidang qy-qz dan besarnya volume yang ditempati oleh satu titik (qx, qy, qz)
dalam ruang - q tersebut.
Gambar 2.4. Ruang - q tiga dimensi : a. ruang - q dalam kuadran I (qx, qy, qz > 0);
b. proyeksi ruang - q pada bidang qy - qz; c. volume yang ditempati oleh satu titik dalam ruang - q
Rapat keadaan g(ù) dalam ruang tiga-dimensi dari rambatan gelombang dapat ditentukan berdasarkan gambar 2.4. Jumlah ragam gelombang (dalam bola berjejari q) adalah perbandingan antara volume bola dan volume yang ditempati oleh satu titik dalam ruang - q, jadi :
4 ðq 3
L3
N = 3 =
q 3
(2.18)
| L |
6ð 2
Turunkan (diferensiasi) N terhadap q akan memberikan g(ù) dù :
atau,
L3
dN = q 2 dq ≡ g(ù ) dù
2ð 2
Gunakan hubungan dispersi :
g(ù ) =
L3 dq q 2
2ð 2 dù
2
ù dq 1
ù = vsq ; q2 = ; =
Sehingga diperoleh :
vs
dù vs
g(ù ) =
V ù 2 (2.19)
| 2 3 |
V = L3, yaitu volume medium apabila berbentuk kubus. Dengan hasil rumusan terakhir, dapat
diperluas hubungan antara jumlah ragam gelombang yang dinyatakan oleh titik-titik dalam ruang - q. Dalam pengertian ini, satu titik (qx, qy, qz) setara dengan 3 (tiga) ragam gelombang dalam ruang (koordinat) tiga-dimensi. Anggap, misalnya, gelombang merambat ke arah - x, maka ragam ke arah x ini menjadi gelombang longitudinal (1 ragam) sedangkan ragam ke arah y dan z menjadi gelombang tronsversal (2 ragam), sehingga :
(qx, qy, qz) - 1 ragam longitudinal
- 2 ragam transversal
Dalam kasus gelombang merambat ke arah sumbu x, maka ungkapan rapat keadaan dapat dituliskan kembali berbentuk :
g(ù ) = V
ù 2 1 + 2
(2.20)
2 3 3
2ð vs , L
vs ,T
dengan vs,L dan vs,T adalah kecepatan gelombang longitudinal dan kecepatan gelombang
transversal.
Sampai sejauh ini, kita telah membahas rambatan gelombang elastik pada bahan padat. Gelombang elastik pada zat padat ini dapat disebabkan baik oleh gelombang mekanik (bunyi/ultrasonik) maupun oleh gelombang termal (inframerah). Kedua gelombang tersebut dapat menyebabkan getaran kisi. Untuk selanjutnya, paket-paket energi getaran kisi disebut fonon. Fonon dapat dipandang sebagai “kuasi partikel” seperti halnya foton pada gelombang cahaya/elektromagnet. Melalui konsep yang mirip “dualisme partikel-gelombang” ini, rambatan getaran kisi dalam zat padat dapat dianggap sebagai aliran fonon.
Beberapa konsep dualisme gelombang-pertikel ditunjukkan pada tabel 2.1.
Tabel 2.1. Beberapa eksitasi elementer pada zat padat.
| GELOMBANG | PARTIKEL |
| Gel. Elektromagnet Gel. Elastik/getaran Kisi Gel. Elektron Kolektif Gel. Magnetisasi Gel. Elektron + deformasi elastik Gel. Polarisasi | Foton Fonon Plasmon Magnon Polaron Eksiton |
KAPASITAS KALOR MODEL EINSTEIN DAN DEBYE
Sejumlah panas (∆Q) yang diperlukan per mol zat untuk menaikkan suhunya disebut kapasitas kalor. Bila kenaikan suhu zat ∆T, maka kapasitas panas adalah :
Jika proses penyerapan panas berlangsung pada volume tetap, maka panas yang diserap sama
dengan peningkatan energi dalam zat, ∆Q = ∆E, E menyatakan energi dalam. Kapasitas kalor pada volume tetap (Cv) dapat dinyatakan :
(2.38)
Kapasitas panas zat bergantung pada suhu, lihat gambar 2.11. Kapasitas panas zat pada suhu tinggi mendekati nilai 3R; R menyatakan tetapan gas umum. Karena R ≅ 2 kalori/K-mol, maka pada suhu tinggi kapasitas panas zat padat :
Gambar 2.11. Kebergantungan kapasitas panas zat padat pada suhu
Nilai di atas berlaku dalam selang suhu termasuk suhu ruang. Kenyataannya Cv memiliki nilai 3R pada suhu tinggi untuk semua zat, ini yang dikenal sebagai hukum Dulong-Petit.
Pada suhu rendah, Cv menyimpang dari hukum Dulong-Petit, Nilai Cv menurun seiring dengan berkurangnya suhu T, dan Cv menuju nol untuk T = 0. Di sekitar T = 0 nilai Cv sebanding dengan T3. Bagaimanakah kebergantungan Cv terhadap T ini dapat diterangkan? Berikut akan dibahas tiga buah model untuk menjelaskan Cv tersebut.
Model Teori Klasik
Apabila zat padat penyerap energi panas akan terjadi gejala termal, yaitu atom-atom bergetar di sekitar posisi setimbangnya. Menurut fisika klasik, getaran atom-atom zat padat dapat dipandang sebagai osilator harmonik. Satu getaran atom identik dengan sebuah osilator harmonik. Osilator harmonik merupakan suatu konsep/model yang secara makroskopik dapat dibayangkan sebagai sebuah massa m yang terkait pada sebuah pegas dengan tetapan pegas C. Untuk osilator harmonik satu-dimensi, energinya dapat dirumuskan :
(2.29)
dengan v laju getaran osilator, x simpangan osilator dan ω frekuensi sudut getaran osilator . Persamaan (2.39) adalah energi yang dimiliki oleh sebuah osilator harmonik; dan karena setiap osilator dalam gerak harmoniknya mempunyai energi yang berbeda-beda, maka dapat ditentukan energi rata-rata osilator harmonik (lihat kembali kuliah FISIKA STATISTIK):
(2.40)
dengan k tetapan Boltzmann dan T suhu osilator. Faktor exp (-ω/kT) disebut bobot Boltzmann
atau lengkapnya fungsi distribusi Maxwell - Boltzmann.
| 2 |
Jadi untuk osilator harmonik satu dimensi yang mempunyai dua derajad bebas (persamaan 2.39) mempunyai energi rata-rata :
Selanjutnya, karena atom-atom dalam kristal membentuk susunan tiga-dimensi, maka untuk satu mol osilator harmonik tiga-dimensi, energi dalamnya :
Dengan demikian kapasitas kalornya :
Dari hasil (2.42) ini terlihat bahwa menurut model fisika klasik, kapasitas panas zat padat
tidak bergantung suhu dan berharga 3R. Hal ini sesuai dengan hukum Dulong-Petit yang hanya berlaku untuk suhu tinggi. Sedangkan untuk suhu rendah jelas teori ini tidak berlaku.
Model Einstein
Dalam model ini, atom-atom dianggap sebagai osilator-osilator bebas yang bergetar tanpa terpengaruh oleh osilator lain di sekitarnya. Energi osilator dirumuskan secara kuantum (berdasarkan teori kuantum) yang berharga diskrit :
| 0 |
berikutnya n = 1, 2 dan seterusnya. Perbedaan energi antar tingkat adalah ђω ; lihat gambar 2.12.
Gambar 2.12. Spektrum energi osilator satu dimensi menurut teori kuantum.
Energi osilator seperti pada persamaan (2.43) berdasarkan anggapan bahwa setiap osilator terisolasi terhadap osilator lainnya. Kenyataannya, osilator-osilator akan saling “bertukar” energi dengan sekitarnya, sehingga energi osilator akan selalu berubah. Pada keseimbangan termal, energi rata-rata osilator dinyatakan oleh :
faktor (bobot) Boltzmann exp(-єn/kT) menyatakan kebolehjadian keadaan berenergi єn tertempati. Persamaan (2.44) dalam bentuk deret tersebut ekuivalen dengan ungkapan :
Selanjutnya, untuk satu mol osilator tiga-dimensi memiliki energi dalam :
Sehingga kapasitas kalornya:
Dalam model Einstein frekuensi osilator ω biasa ditulis ωE yang disebut frekuensi Einstein.
Untuk menyederhana persamaan (2.46) didefinisikan suhu Einstein (θE) menurut :
dan persamaan (2.46) tereduksi menjadi :
Cv menurut persamaan terakhir ini bila dilukiskan sebagai fungsi T akan menghasilkan kurva
yang secara kualitatif menyerupai kurva eksperimen dalam gambar 2.11.; terutama untuk suhu rendah dimana Cv → 0 bila T → 0K. Suatu hal yang tidak dihasilkan oleh model fisika klasik pada pembahasan terdahulu. Tetapi, apakah benar bahwa hasil (2.48) cocok secara kuantitatif dengan kurva eksperimen?
Pada suhu tinggi (T>>), maka nilai (θE/T) berharga kecil; sehingga exp (θE/T) dapat
diuraikan ke dalam deret sebagai berikut :
Menurut hasil ini jelas bahwa model Einstein cocok pada suhu tinggi. Bagaimana untuk suhu
rendah? Pada suhu rendah (T<<) nilai (θE/T) besar. Hal ini berdampak pada penyebut dalam persamaan (2.48); yaitu :
sehingga ungkapan kapasitas panas menjadi :
Dengan
| − |
eksperimen, dimana Cv sebanding dengan T3. Sekali lagi, model inipun gagal menjelaskan Cv pada suhu rendah.
Model Debye
Dalam model Einstein, atom-atom dianggap bergetar secara terisolasi dari atom di sekitarnya. Anggapan ini jelas tidak dapat diterapkan, karena gerakan atom akan saling berinteraksi dengan atom-atom lainnya. Seperti dalam kasus penjalaran gelombang mekanik dalam zat padat, oleh karena rambatan gelombang tersebut atom-atom akan bergerak kolektif. Frekuensi getaran atom bervariasi dari ω=0 sampai dengan ω=ωD. Batas frekuensi ωD disebut frekuensi potong Debye.
Menurut model Debye ini, energi total getaran atom pada kisi diberikan oleh ungkapan
є (ω) adalah energi rata-rata osilator seperti pada model Einstein, lihat persamaan (2.45),
sedangkan g (ω) adalah rapat keadaan seperti pada persamaan (2.19). Dalam selang frekuensi antara ω = 0 dan ω = ωD, g(ω) memenuhi :
Jumlah moda getaran sama dengan jumlah 1 mol osilator tiga-dimensi, yang dalam kurva pada
gambar 2.13 ditunjukkan oleh daerah terarsir. Frekuensi potong ωD dapat ditentukan dengan cara memasukkan persamaan (2.19.) ke dalam persamaan (2.52.), yang memberikan :
Gambar 2.13. Rapat keadaan menurut Model Debye.
Apabila kita menggambarkan kontur yang berhubungan dengan ω = ωD dalam ruang - q seperti pada gambar 2.4. akan diperoleh sebuah bola yang disebut bola Debye, dengan jejari qD yang disebut jejari Debye dan memenuhi (lihat gambar 2.14) :
Gambar 2.14. Bola Debye dengan jejari qD
Kembali pada persamaan (2.51), dengan substitusi є (ω ) pada persamaan (2.54) dan g(ω) pada persamaan (2.19) diperoleh ungkapan energi getaran kisi :
Turunan pertama terhadap suhu persamaan (2.45) menghasilkan kapasitas kalor:
Penampilan persamaan (2.55) dapat disederhanakan dengan mendefinisikan :
Dan suhu Debye
sehingga bentuknya menjadi :
Apakah hasil terakhir ini sesuai dengan eksperimen?
Pada suhu tinggi (T>>θD), batas atas integral (θD/T) sangat kecil, demikian juga variabel x. Sebagai pendekatan dapat diambil : ex ≅ 1 + x
sehingga integral yang bersangkutan menghasilkan :
Masukkan hasil ini kepersamaan (2.56)
| 3 |
| D |
berhingga; dan integral tersebut menghasilkan 4π4/15. Dengan demikian :
Tabel 2.1. Suhu Debye untuk beberapa zat.
| Zat | Struktur Kristal | Laju gel.Elastik (ms-1) | Suhu Debye (oK) | |
| Na Cu Zn Al Pb Ni Be Si Si02 NaCl LiF CaF2 | BCC FCC HCP FCC FCC FCC Intan Intan Heksagonal GaramBatu GaramBatu Flourit | 2320 3880 3400 5200 1960 4650 3830 6600 4650 3400 5100 5300 | 164 365 307 438 135 446 377 674 602 289 610 538 (Dari data elastik) | 157 342 316 423 102 427 378 347 470 321 732 510 (Dari data Cv) |
Energi dan Jumlah Fonon
Pada subbab 2.1. telah dibahas bahwa getaran atom dapat dipandang sebagai paket
energi yang disebut fonon. Bila dihubungkan dengan model Debye, energi fonon terkuantisasi yang diberi bentuk :
analog dengan foton, maka momentum fonon dapat ditulis :
Dengan
Dalam hal ini dapat dibayangkan bahwa bila gelombang elektromagnet merambat identik
dengan adanya arus foton, sedangkan pada rambatan gelombang mekanik atau gelombang suara identik dengan adanya aliran arus fonon yang membawa energi dan momentum seperti pada persamaan (2.60) dan (2.61).
Jumlah fonon dalam suatu moda gelombang pada keseimbangan termal dapat diprediksi dari persamaan (2.45). Karena energi setiap fonon adalah ђω dan energi rata-rata fonon diberikan oleh persamaan (2.45), maka jumlah rata-rata fonon dalam suatu moda
gelombang adalah :
Jadi, jumlah fonon bergantung suhu, pada T = 0, n = 0 , tetapi bila T meningkat, n akan
bertambah. Pada suhu tinggi n ≅ kT/ђ. Dengan demikian dapat dikatakan fonon tercipta dengan menaikkan suhu; dan hal ini berbeda dengan partikel lain (proton, elektron) yang jumlahnya tetap meskipun suhunya berubah.
3.5. FONON
Fonon dalam fisika adalah kuantum kuantum moda vibrasi pada kisi kristal tegar, seperti kisi kristal pada zat padat. Kristal dapat dibentuk dari larutan, uap, lelehan atau gabungan dari ketiganya. Pembentukan kristal sangat dipengaruhi oleh laju nukleasi dan pertumbuhan. Bila pertumbuhan lambat, kristal yang terbentuk akan cukup besar, disertai dengan penataan atom–atom atau molekul-molekul secara teratur dengan berulang sehingga sehingga energi potensialnya minimum. Fisika zat padat sangat berkaitan erat dengan kristal dan elektron di dalamnya.
Fisika zat padat mengalami perkembangan pesat setelah ditemukan Sinar-X dan keberhasilan di dalam memodelkan susunan atom dalam kristal. Atom-atom atau molekul–molekul dapat berbentuk kisi kristal melalui gaya tarik menarik (gaya coulomb). Kisi–kisi tersebut tersusun secara priodik membentuk kristal. Atom–atom yang menyusun zat padat bervibrasi terhadap posisi keseimbanganya sehingga kisi–kisi kristal pun ikut bervibrasi. Fenomena yang muncul dari kuantisasi sistem fisika zat padat tetapi memiliki perbedaan energi dengan panjang gelombang lebih panjang dibanding gelombang elektromagnetik disebut fonon. Energi kuantum dari vibrasi gerak dalam medan gelombang elastis dapat dianalogikan seperti dalam foton dalam gelombang elektromagnetik.
Konsep fonon tersirat dalam teori Debye yang sangat penting dan jauh mencapai konsepnya. Kita telah melihat bahwa energi setiap mode adalah terkuantisasi, energi dari unit kuantum menjadi ћω. Karena mode yang kita miliki adalah gelombang elastis, yang pada kenyataannya, terkuantisasi energi gelombang suara elastis. Prosedur ini analog dengan yang digunakan dalam mengkuantisasi energi medan elektromagnetik, di mana sel hidup alam lapangan diungkapkan dengan memperkenalkan foton. Dalam kasus ini, partikel seperti entitas yang membawa energi unit bidang elastis dalam modus tertentu disebut sebuah Fonon. Energi fonon tersebut yaitu:
є = ћω
Sedangkan Fonon juga merupakan gelombang berjalan, ia membawa momentum sendiri. Analogi foton (sama seperti persamaan de Broglie), momentum Fonon diberikan oleh p = h / λ, dimana λ adalah panjang gelombang. Ditulis λ = 2π / q, dimana q adalah vektor gelombang, kita memperoleh momentum untuk Fonon tersebut:
p = ћq
Sama seperti kita berpikir tentang gelombang elektromagnetik sebagai aliran foton, sekarang kita melihat sebuah gelombang suara elastis sebagai aliran fonon yang membawa energi dan momentum gelombang. Kecepatan perjalanan Fonon sama dengan kecepatan suara dalam medium.
Jumlah fonon dalam mode pada kesetimbangan termal dapat ditemukan dari pemeriksaan Persamaan. (3.26). Karena energi per Fonon sama dengan ћω, dan karena energi rata-rata fonon dalam modus diberikan oleh є dalam (3.26), berarti rata-rata jumlah fonon dalam modus diberikan oleh
Jumlah ini tergantung pada suhu pada T = 0, n = 0, tetapi dengan meningkatnya T, n juga meningkat, akhirnya meraih nilai n = kT / ћω pada suhu tinggi. Di sini kita melihat hal yang menarik: fonon diciptakan hanya dengan meningkatkan suhu, dan karenanya jumlah mereka dalam sistem ini tidak kekal. Ini tidak seperti kasus pada partikel lebih dikenal fisika-misalnya, elektron atau proton di mana jumlah ini kekal.
Konsep fonon merupakan salah satu yang sangat penting dalam fisika zat padat, dan kita akan perdalam lagi dalam buku ini. Sebagai contoh, pada bagian 3.10, kita akan mempelajari interaksi fonon dengan bentuk-bentuk lain dari radiasi, seperti sinar-X, neutron, dan cahaya. Interaksi ini tidak hanya akan memvalidasi pers. (3.41) and (3.42) untuk energi dan momentum Fonon, tetapi juga akan memberikan informasi berharga tentang keadaan getaran padat.
3.6. GELOMBANGA KISI
Kisi diatomik satu dimensi
Sekarang mempertimbangkan kisi satu dimensi diatomik. selain memiliki sifat-sifat kisi monoatomik, diatomik kisi juga menunjukkan fitur penting sendiri. Gambar 3.22 menunjukkan kisi diatomik di mana sel satuan terdiri dari dua atom massa M1 dan M2, dan jarak antara dua atom tetangga adalah a. misalnya di NaCl, dua massa adalah dari atom natrium dan clorine
| 2n-1 |
| 2n |
| 2n+1 |
| M1 |
| M2 |
| a |
gambar 3.22 kisi diatomik satu dimensi. sel satuan memilik ipanjang 2a
Gerak kisi ini dapat diperlakukan dengan cara yang sama dengan gerakan kisi monoatomik. Karena ada dua jenis atom, kita akan menulis dua persamaan gerak. Dengan analogi dengan(3.44), kita memiliki
M2 = - α (2u2n+1 – u2n – u2n+2),
M1 = - α (2u2n+2 – u2n+1 – u2n+3), (3.57)
dimana n adalah indeks integral, dan perpindahan adalah seperti yang semua atom dengan massa M1 diberi label sebagai bahkan dan mereka dengan M2 massa sebagai aneh. Dua persamaan di (3.57) yang digabungkan. dengan menulis satu set yang sama untuk setiap sel dalam kristal, kita memiliki total 2N persamaan diferensial digabungkan dan harus dipecahkan secara simultan (N adalah jumlah sel unit dalam kisi). Untuk melanjutkan dengan solusi, kami mengandalkan pembahasan kisi monoatomik, dan mencari mode normal untuk kisi diatomik. Dengan demikian kita mencoba solusi dalam bentuk gelombang berjalan,
= (3.58)
yang ditulis dalam bentuk matrik jelas. Dicatat bahwa semua atom massa M1 memiliki amplitude yang sama A1, dan semua M2 massa memiliki amplitude A2. Jika kita sekarang mengganti (3.58) ke (3.57) dan membuat beberapa penyederhanaan langsung, kami menemukan
= 0 (3.59)
yang merupakan persamaan matriks setara satu set dari dua persamaan simultan (menulis ini) tidak diketahui A1 dan A2. Persamaan homogeny solusi trivialada hanya jika determinan matriks di (3.59) lenyap. Ini mengarah ke persamaan sekuler,
= 0 (3.60)
| -π/2a |
| π/2a |
| 0 |
| Gap |
| optical |
| (2α/M1)1/2 |
| (2α/M2)1/2 |
| [ 2α ( )]1/2 |
| ω |
| Acoustic |
gambar 3.23 cabang-cabang dispresion dua dari kisi diatomic M1 <M2 yang menunjukkan kesenjangan frekuensi
Ini adalah persamaan kuadrat di ω2, yang dapat dengan mudah dipecahkan. (persamaan 3.61) Dua akar adalah berkoresponden ke dua tanda di (3.61), demikian ada dua relasi dispresion, dan akibatnya kurva dispresion dua atau cabang yang terkait dengan kisi diatomik.
Ini adalah persamaan kuadrat di ω2, yang dapat dengan mudah dipecahkan. (persamaan 3.61) Dua akar adalah berkoresponden ke dua tanda di (3.61), demikian ada dua relasi dispresion, dan akibatnya kurva dispresion dua atau cabang yang terkait dengan kisi diatomik.
Gambar 3.23 menunjukkan kurva ini. kurva yang lebih rendah sesuai dengan tanda minus di (3.61) adalah cabang akustik, sedangkan bagian atas adalah cabang optik. Cabang akustik dimulai pada titik q = 0, ω = 0. Sebagai meningkatkan q, kurva meningkat secara linear pada awalnya (yang menjelaskan mengapa cabang ini disebut akustik), tetapi laju akan menurun meningkat. Akhirnya kurva yang jenuh pada nilai q = π/2a seperti dapat dilihat dari (3.61) pada frekuensi (2α/M2)1/2. Diasumsikan bahwa M1 < M2. Seperti untuk cabang optik, dimulai pada q = 0 dengan frekuensi yang terbatas ω = [ 2α ( )]1/2 dan kemudian menurun perlahan menjenuhkan di q = π/2a dengan frekuensi (2α/M2)1/2. Frekuensi cabang ini tidak berbeda jauh dengan rentang seluruh q, dan bahkan sering kali dianggap kurang lebih konstan.
Rentang frekuensi antara bagian atas cabang akustik dan bawah cabang optic adalah dilarang, dan kisi-kisi tidak dapat mengirimkan seperti ombak, gelombang di wilayah ini sangat dilemahkan. Seseorang berbicara di sini tentang celah frekuensi. Maka kisi diatomic bertindak sebagai sebuah band -pass filter mekanik.
Perbedaan dinamis antara cabang akustik dan optik dapat dilihat paling jelas dengan membandingkan mereka di nilai q = 0 (panjang gelombang tak terbatas). Kita dapat menggunakan (3.59) untuk mencari rasio amplitudo A2/A1. Memasukkan ω = 0 untuk cabang akustik kita menemukan persamaan yang merasa puas hanya jika (persamaan 3.62) sehingga untuk cabang dua atom dalam sel, atau molekul memiliki amplitudo yang sama dan juga dalam tahap/fase. Dengan kata lain, molekul (dan memang seluruh kisi) berosilasi sebagai badan kaku, dengan pusat massa bergerak maju-mundur seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.24 (a). Sebagai q meningkatkan dua atom dalam molekul tidak lagi memuaskan persis (3.62), tapi mereka masih bergerak di sekitar fase satu sama lain.
(gambar 3.24 (a). perpindahan atom dalam modus akustik pada panjang gelombang yang tak terbatas q = 0 (b). perpindahan atom dalam modus optik pada panjang gelombang tak terbatas)
Di sisi lain, jika kita mengganti ω =[ 2α ( )]1/2 untuk cabang optik kita menemukan bahwa M1A1 + M2A2 = 0 (persamaan 3.63)
Di sisi lain, jika kita mengganti ω =[ 2α ( )]1/2 untuk cabang optik kita menemukan bahwa M1A1 + M2A2 = 0 (persamaan 3.63)
Ini berarti bahwa osilator optik berlangsung sedemikian rupa sehingga pusat massa sel tetap. Dua atom π bergerak keluar dari fase satu sama lain, dan rasio amplitudo mereka -M1/M2 = A2/A1. Jenis osilasi di sekitar pusat massa dikenal dalam studi getaran molekul. Sebagai meningkatkan q luar nol, frekuensi getaran berkurang diatomik, namun menurun tidak besar karena atom terus berosilasi di sekitar π keluar dari fase satu sama tanpa keluar dari rentang q.
Alasan untuk merujuk ke cabang atas sebagai optik adalah: Pertama, frekuensi cabang ini diberikan disekitar oleh (2α/M2)1/2, yang memiliki nilai khas tentang (2 x 5 x 103/10-23)1/2 ≈ 3 x 1013 s-1, menggunakan nilai khas untuk α dan M. Frekuensi ini terletak didaerah inframerah. Selanjutnya jika atom dibebankan seperti dalam NaCl, sel membawa momen dipol listrik yang kuat pada kisi berosilasi dalam modus optik, dan ini menghasilkan refleksi yang kuat dan penyerapan sinar inframerah oleh kisi-kisi, seperti yang akan kita lihat di bagian 3.12
Akhirnya, kami mencatat bahwa kurva dispersi untuk kisi diatomik memenuhi sifat simetri yang sama dalam ruang q dibahas dalam kaitannya dengan kisi satu dimensi. Misalnya gelombang dispersi periodik dengan periode π/α, dan memiliki simetri refleksi tentang q = 0. Dicatat bahwa disini zona Brillouin pertama terletak pada kisaran –π/2a < q < π/2a, sejak periode kisi riil 2a dan bukan a. Pernyataan ini tentang simetri dapat dibentuk dengan mengacu baik untuk (3.61) atau gambar 3.23. Itu juga dapat ditampilkan, dengan menggunakan kondisi batas periodik yang jumlah nilai q diperbolehkan dalam zona pertama adalah N dan akibatnya jumlah mode di dalam zona ini adalah 2N, sejak dua mode -satu akustik dan yang lain optik sesuai dengan setiap q. Sehingga jumlah mode di dalam zona pertama adalah sama dengan jumlah derajat kebebasan dalam kisi, seperti yang harus terjadi.
Ini menunjukkan bahwa kita dapat membatasi perhatian kita pada zona pertama saja, seperti dalam kisi monoatomik, prosedur kita telah diikuti secara implisit
Kisi Tiga Dimensi
Pertimbangkan pertama kali untuk kisi monoatomik Bravais, di mana setiap sel satuan memiliki atom tunggal. Persamaan gerak setiap atom dapat ditulis dengan cara yang mirip dengan (3.44). Di sini juga atom-atom yang berpasangan mengalami interaksi bersama yang saling menguntungkan. Dalam upaya solusi yang normal, kita menulis
Un = A ei(qr-ωt)
Di mana vektor gelombang q menentukan panjang gelombang dan arah propagasi. Vektor A diperlukan di sini karena propagasi terjadi dalam tiga dimensi. Vektor A menentukan amplitudo serta arah getaran atom. Dengan demikian vektor ini menentukan polarisasi gelombang, yaitu apakah gelombang adalah longitudinal (A sejajar dengan q) atau transversal (A ┴ q). (Pada umumnya dalam gelombang, suatu kisi tidak mungkin murni longitudinal maupun transversal, namun campuran dari keduanya).
Ketika kita substitusi (3.64) ke dalam persamaan gerak, kita akan mendapatkan tiga persamaan yang melibatkan Ax, Ay dan Az dari komponen A. Persamaan ini berpasangan dan menggunakan persamaan matriks 3 x 3. Dalam menulis persamaan sekuler untuk matriks ini, kita sampai pada persamaan determinan 3 x 3, analog pada (3.60), dimana ini terjadi pada kubik di ω2. Akar persamaan ini mengarah kepada tiga hubungan dispersi yang berbeda, atau tiga kurva dispersi, seperti ditunjukkan pada Gambar 3.25 (a). Semua tiga cabang melewati asal, yang berarti bahwa dalam kisi ini semua cabangnya adalah akustik. Hal ini tentu saja diharapkan, karena kita berhadapan dengan kisi Bravais monoatomik.
Perhatikan bahwa dalam situasi tiga dimensi, hubungan dispersi tidak selalu isotropik di ruang q, dan kurva dispersi dalam Gambar 3.25 hanya "profil" dari dispersi pada arah q tertentu. Jika hubungan dispersi diplot ke arah lain, suatu profil baru akan dihasilkan dan akan terlihat sangat berbeda dari yang sebelumnya. Dalam kasus tiga dimensi, representasi lengkap dari hubungan dispersi memerlukan pemberian frekuensi untuk titik-titik di seluruh ruang q tiga dimensi. Hal ini sering dilakukan dengan memetakan kontur frekuensi dalam ruang ini.
Gambar 3.25 (a) Tiga cabang akustik di suatu kisi Bravais tiga dimensi. (b) Dispersi kurva untuk Al dalam arah [100] (bagian kanan) dan arah [110] pada bagian kiri. Cabang TA dalam arah [100] benar-benar mewakili dua pertemuan dan arahnya merosot (turun). (Perhatikan bahwa masing-masing cabang secara individual simetris relatif terhadap asal, hanya setengah dari masing-masing cabang diplot.). (c). Kurva dispersi Ge di arah [100] dan [111].
Tiga cabang pada Gambar. 3.25 berbeda dalam polarisasi mereka. Ketika q terletak sepanjang arah simetri yang tinggi - misalnya, arah [100] atau [110] - gelombang ini dapat diklasifikasikan sebagai gelombang longitudinal murni atau gelombang transversal murni. Namun dalam kasus ini, dua dari cabang-cabang ini adalah transversal dan yang lainnya longitudinal. Kita biasanya mengacu pada ini, yang masing-masing adalah cabang TA (akustik transversal) dan LA (akustik longitudinal). Namun, seiring arah dari gelombang yang tidak simetri tidak mungkin gelombang tersebut murni longitudinal atau murni transversal, namun memiliki karakter yang campuran. Salah satu mungkin masih merujuk pada cabang sebagai TA atau LA berdasarkan polarisasi mereka sepanjang arah simetri tinggi. Gambar 3.25 (b) menunjukkan kurva dispersi untuk Al dalam arah [100] dan [111]. Perhatikan bahwa dalam arah yang simetri tinggi tertentu, seperti [100] di Al, dua cabang adalah transversal. Cabang-cabang tersebut kemudian dikatakan merosot. Sebagaimana telah kita lihat, polarisasi dan degenerasi dari kurva dispersi sangat erat terkait dengan simetri kristal relatif terhadap arah propagasi.
Kami mengalihkan perhatian kami sekarang untuk kisi non-Bravais tiga dimensi. Di sini sel satuan mengandung dua atau lebih atom. Jika ada r atom per sel, maka berdasarkan pengalaman kami sebelumnya kami menyimpulkan bahwa ada 3r kurva dispersi. Dari jumlah tersebut, tiga cabang yang akustik, dan sisanya (3r-3) yang optik. Pembenaran matematika untuk pernyataan ini adalah sebagai berikut: kita menulis persamaan gerak untuk setiap atom dalam sel, yang menghasilkan persamaan r. Karena ini adalah persamaan vektor, mereka setara dengan 3r persamaan skalar, atau persamaan matriks tunggal orde (3r x 3r). Oleh karena itu persamaan sekuler dari 3r adalah ω2, dan memiliki tiga akar, yang mengarah ke 3r cabang. Hal ini dapat menunjukkan bahwa ketiga dari akar-akarnya selalu lenyap pada q = 0, yang menghasilkan tiga cabang akustik. Sisanya akar (3r-3), diketahui berasal dari cabang optik, seperti yang dinyatakan di atas.
Cabang-cabang akustik dapat diklasifikasikan berdasarkan polarisasi mereka yaitu sebagai TA1, TA2, dan LA. Cabang-cabang optik juga dapat diklasifikasikan sebagai longitudinal atau transversal ketika q terletak di sepanjang arah simetri tinggi, dan salah satunya cabang LO dan TO. Seperti dalam kasus satu dimensi, kita juga dapat menunjukkan bahwa untuk cabang optik, atom dalam sel satuan bergetar keluar dari fase yang relatif terhadap satu sama lain. Sebagai contoh dari kisi non-Bravais, kurva dispersi untuk Ge ditunjukkan pada Gambar. 3.25 (c). Terdapat dua atom per unit sel germanium, ada enam cabang: tiga akustik dan tiga optik. Perhatikan bahwa dua cabang transversal merosot sepanjang arah [100], seperti ditunjukkan sebelumnya.
Kurva kisi dispersi diukur oleh sinar-X yang tidak elastis atau metode hamburan neutron. Kurva tersebut juga dapat dihitung secara teoritis dengan prosedur yang sama dengan yang digunakan dalam kasus satu dimensi. Kita asumsikan gaya yang kontinu sesuai dengan interaksi atom dengan lingkungannya. Substitusikan ke dalam persamaan gerak, dan solusi dari persamaan sekuler yang sesuai adalah mengarah ke kurva dispersi. Kami kemudian membandingkannya dengan yang diukur secara eksperimen, dan gaya kontinu dipilih sehingga mencapai kesepakatan antara hasil eksperimen dan teoritis.
Simetri di Ruang q: Zona Brillouin pertama (Tiga Dimensi)
Simetri di Ruang q: Zona Brillouin pertama (Tiga Dimensi)
Hubungan dispersi dalam kasus kisi-kisi tiga dimentional adalah
ω = ωj (q)
di mana indeks j menspesifikasi hal yang diamati. Hubungan dispersi untuk setiap cabang individu yang memnuhi sifat simetri, serupa dengan yang dibahas sehubungan dengan kisi satu dimensi. Dalam diskusi berikut, kita akan menghilangkan rincian matematika, karena sangat mirip dengan rincian matematika untuk kasus satu dimensi.
Pertama, ωj (q) memenuhi properti periodik
ωj (q+G) = ωj (q)
di mana G adalah vektor kisi yang tertukar. Ini berarti bahwa kita membatasi perhatian kita pertama kali kepada BZ (zona Brillouin). Juga pada simetri inversi berlaku
ωj (- q) = ωj (q)
Perhatikan kembali simetri ini, berdasarkan simetri translasi kisi sejati selalu memenuhi tanpa memperhatikan pertimbangan kepadatannya.
Gambar. 3.26 (a) BZ pertama dari Al: tetrahedron dipotong sepanjang sumbu kubik. (b) Frekuensi (ω) kontur untuk cabang LA di Al (bilangan untuk unit adalah 2π х 1013 s-1). Catatan bahwa ini hanya terjadi ketika dipotong melintang dan hanya ada bidang qx dan qy.
Selain itu, hubungan relasi dispersi simetri rotasi menujukkan bahwa yang dimiliki adalah kisi nyata. Misalnya, dalam kristal kubik, hubungan dispersi ωj (q) menunjukkan kubik yang simetri.
Berbagai simetri dimaksud diilustrasikan pada Gambar. 3.26. Gambar 3.26 (a) menunjukkan BZ untuk Al, yang memiliki kisi fcc, dan Gambar. 3.26 (b) adalah plot dari kontur frekuensi di zona ini. Hal ini mudah dilihat dari gambar bahwa ini periodik yang terbalik, dan semua simetri rotasi terpenuhi.
Selain nilai estetika tersebut, simetri ini juga penting dalam arti praktis. Jadi biasanya kita perlu menentukan kurva dispersi di daerah kecil dari BZ saja, dan sisanya dari zona dapat diselesaikan dengan menggunakan simetri. Sehingga dalam kristal kubik kurva dispersi dapat ditentukan hanya dengan 1/48th dari BZ (kelompok rotasi kubik yang memiliki 48 elemen). Akhirnya, perhatikan bahwa simetri tersebut berlaku untuk setiap cabang dispersi individual. Mereka tidak mengaitkan cabang yang berbeda satu sama lain.
berantakan
BalasHapus